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４１１ 华中农业大学学报( 社会科学版) ( 总 １４７ 期)

上述支付函数均可用表 １ 的形式表示. 表 １ 联盟中单独经营与合作经营的
５． 改进的模糊 Sha p le y 算法 得益矩阵 元 / 克
联盟博弈的解有多种形式, 其中 Sha p le y 值法从局 I M S
中人的理性假定出发, 根据联盟中各局中人给联盟带来 I I : v １１ IM : v １２ IS : v １３
M MI : v ２１ M : v ２２ MS : v ２３
的边际贡献进行合理分配, 使整体理性和个体理性达到
S SI : v ３１ SM : v ３２ S : v ３３
均衡.成员贡献越大, 其分得的收益就越多, 反之则越少.这种分配方式考虑了成员的贡献程度, 具
有一定的合理性, 也因此成为最常用的联盟博弈解法.然而, 本文上述模糊多方联盟博弈模型用传统
的经典数学 Sha p le y 值法却难以求解, 也即, 没有具体准确的数值能够完全表达合作的对策.因此,
本文在 Sha p le y 值法的基础上, 设计了改进的模糊 Sha p le y 值法对模型进行求解.
定义 １ 令 N＝ { １ , ２ ,, n } 为局中人集合, v是定义在P ( N ) 上取值在模糊集合 R 上的模糊支付

[
＋
－
函数, 即 v : P ( N ) →R , 且 v ( S ) ＝ v ( S ), v ( S ) ] , 满足:

( １ ) v ( ) ＝０ ;
φ
＋
＋
－
＋
(
(
,
(
(
( ２ ) 对于S , T∈P ( N ), 且S∩T＝ φ ∀α∈ [ ０ , １ ], ∃v α S∪T ) ≥v α S ) ＋v α T ), v α S∪T ) ≥

－
－
(
(
(
v α S ) ＋v α T ).称( N , v ) 为 N 上具有模糊支付数的合作对策, 记作 G ０F N ).
定义 ２ 对于具有区间上的超可加对策( N , v ), ∃ 唯一一个 Sha p le y 函数x i v ): P ( N ) →R , 可以

(
表示为 [ ２１ ] :

[
(
x i v ) ＝ ∑ w ( S ) v ( S ) －v ( S|i ) ] , i＝１ , ２ ,, n ( １１ )
i∈P ( N ) ∈S
( n－ S !)( S －１ )!
其中 w ( S ) ＝ .
n !

(
函数x i v ) 为模糊 Sha p le y 函数, 其存在上下界, 可表示为:

－
＋
x i v ) ＝ x i v ), x i v ) ] ( １２ )
(
(
(
[
其中:
＋ ＋ －
[
(
x i v ) ＝ ∑ w ( S ) v ( S ) －v ( S|i ) ] , ∀i∈N ( １３ )
i∈P ( N ) ∈S
－ － ＋
[
(
x i v ) ＝ ∑ w ( S ) v ( S ) －v ( S|i ) ] , ∀i∈N ( １４ )
i∈P ( N ) ∈S

(
(
性质 １ 有效性公理: 若 S 是 v的支柱, 则 v ( S ) ⊆ ∑ φ i v ) ＝ ∑ φ i v ).
i∈S i∈N

性质 ２ 替代性公理: 令 m , n 是对策博弈中两个不同的参与人, ∀S⊆P ( N － { m , n }), ∃v ( S∪

m ) ＝v ( S∪n ), ∴ φ m v ) ＝ φ n v ).
(
(

, ) , ), ∀α , ∈R , 如果存在一个具有区间支付
性质 ３ 线性公理: 对于任意的联盟( N１ v １ 和( N２ v ２ β

)
(
( )
(
)(
φ i
的合作对策( N , v １＋v ２ ), ∃ ( αv １＋ β v ２ S ) ＝αv １ S ) ＋ β v ２ S ), ( αv １＋ β v ２ ＝α φ i v １ ＋ βφ i

( v ２ ), ∀i∈N .
定义 ３ 令 N ＝ { １ , ２ , ．．． , n } 为局中人集合, v是定义在 N 的取值在模糊集合R 上的模糊支付函

数, 即 v : P ( N ) →R , 且 v ( S ) ＝ v ( S ), v ( S ) ] , 满足 [ ２２ ] :

[
＋
－

( １ ) v ( ) ＝０ ;
φ

[
( ２ ) v是凸集, 对于任意的λ∈ ０ , １] , v λ 是凸集;

( ３ ) 设 v∈F ( R ), 称 v为模糊凸集的.
)
若模糊集的“ 重心” 或“ 均值” 用 G ( n i 表示, 对于任何σ , ∈R 有:
ξ

[
)
v G ( n i －σ ( １－ ξ ) ]

ξ
v ( ∂ , δ )( S ) ＝ { , ∈ [ ０ , １ ] ( １５ )
[
)
v G ( n i ＋σ ( １－ ξ ) ]